Bits

为什么要用比特

• 易于用双稳态元件存储
• 能在有噪声且不精确的电线上可靠传输

我们可以用二进制来表示浮点数。在一个二进制的小数中：

• 小数点左边的第一位权重为 2^0，向左依次为 2^1、2^2、…
• 小数点右边的第一位权重为 2^-1，向右依次为 2^-2、2^-3、…

因此，如果将数字写成 32 位或者 64 位的字符串会很麻烦。通常将 4 bits 为一组，用十六进制表示。这样十六进制与二进制的转换就非常方便。

字节

• 一个字节等于 8 比特

布尔代数

• 比特之间的关系（操作）
• 1 代表 true，0 代表 false

Example：表示与操作集合

• 表示方式：
  • 一个长度为 $w $的位向量表示集合 ${0, 1, …, w-1}$ 的子集
  • 如果 $a_j = 1，j ∈ A$
• for example：{0, 3, 5, 6}
  • 01101001
  • 76543210

对于上面的这个例子，“01101001”代表的就是 “76543210” 中各个位的数字在集合中是否出现，出现即为 1，反之为 0。

对比逻辑运算符

• &&、||、 !

Example：

• !0x41 → 0x00
• !0x99 → 0x01
• !!ox41 → 0x01
• 0x69 && 0x55 → 0x01
• p && *p（避免空指针访问，如果 p 是 NULL，就不会解引用）

移位操作

左移：x « y

• 向左移动位次，多余的bits扔掉，添加相对应数目的0

右移：x » y

• 逻辑右移

  • 和左移类似

• 算数右移

  • 若第一个数为1，把原本填充的0改为填充1

整数编码

• 无符号数

  $B2U(X) = \sum_{i = 0}^{w-1} x_i \cdot 2^i $

• 补码(Two’s Complement)

  $B2T(X) = -x_{w-1} \cdot 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i \cdot 2^i$

数值范围

W = 16

因此我们可以得到一个关系如下：

​ $TMin = TMax + 1$

​ $UMax = 2 \times TMax + 1$

转换

有符号整型和无符号整型和十进制的转换关系如下：

显然上述转换是可逆的：

• $\text{U2B}(x)=\text{B2U}^{-1}(x)$
• $\text{T2B}(x)=\text{B2T}^{-1}(x)$

利用复合关系可以得到有符号整型以及无符号整型的转换关系：

对于$\text {TMin} \leqslant x \leqslant \text{TMax}$

对于$0 \leqslant x \leqslant \text{UMax}$

下图为补码到无符号数的转换关系

C语言中的转换如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9

int tx, ty;
unsigned ux, uy;
//显示转换
tx = (int) ux;
uy = (unsigned) ty;

//隐式转换
tx = ux;
uy = ty

表达式求值规则

若单个表达式中同时出现无符号数与有符号数，则有符号值会被隐式转换为无符号数（包括比较运算 <、>、==、<=、>=）。

举例：W = 32 位

常量定义

• TMIN = -2,147,483,648
• TMAX = 2,147,483,647

小结：有符号与无符号强制转换的基本规则

• 位模式保持不变
  强制转换时，内存中的 0/1 序列原样复制。

• 仅重新解释
  同一段位模式，按目标类型（有符号或无符号）重新解读。

• 可能产生“意外”
  数值可能突然加上或减去 2^W（W 为位数）。

• 表达式中的混合类型
  只要表达式里同时出现signed int与unsigned int ，编译器会把 signed int 隐式转换成 unsigned int，再参与运算。

扩展，截断

扩展

无符号扩展至需要在前面的bits补0,有符号扩展如下

• 任务：

  • 给定w-bit的有符号整型x
  • 将其转换为w+k-bit的有符号整型，值不变

• 规则：

  将符号位复制k份

  $X’ = X_{w-1},\dots,X_{w-1},X_{w-1},X_{w-2},\dots,X_0$

补码的符号扩展

定义宽度为 $w$ 的位向量 $\vec{x} = [x_{w-1}, x_{w-2}, \dots, x_0]$ 和宽度为 $w’$ 的位向量 $\vec{x}’ = [x’{w’-1}, x’{w’-2}, \dots, x’0]$，其中 $w’ > w$。则$B2T_w(\vec{x}) = B2T{w’}(\vec{x}’)$，

补码数值的符号扩展

令$w’ = w + k$，我们想要证明的是

下面的证明是对$k$进行归纳。也就是说，如果我们能够证明符号扩展一位保持了数值不变，那么符号扩展任意位都能保持这种属性。因此，证明的任务就变为了：

展开左边的表达式，得到：

我们使用的关键属性是$2^w - 2^{w-1} = 2^{w-1}$。因此，加上一个权值为$-2^w$的位，和将一个权值为 $-2^{w-1}$的位转换为一个权值为 $2^{w-1}$ 的位，这两项运算的综合效果就会保持原始的数值。

截断

无符号截断

原始 $w$ 位：

截断为 $k$ 位后：

推导

有符号截断

原始 $w$ 位：

截断为 $k$ 位后：