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Lab1 DataLab

Sun, 28 Sep 2025 00:00:00 +0000

lecture03 Bits,Bytes and Integer cout

Fri, 26 Sep 2025 00:00:00 +0000

加法

无符号加法

无符号的加法很简单，和二进制加法一样，只不过要把overflow的删除，并且把结果取模即可

检测无符号数中加法的溢出

令 $s = U +_w^u V$ 为无符号整数 $U$ 和 $V$ 的和，那么当且仅当 $s < U$（或等价的 $s < V$）时产生溢出，这是因为：

$$ \begin{aligned} s &= U + V - 2^w < U \\ s &= U + V - 2^w < V \end{aligned} $$

补码加法

![](截屏2025-09-28 15.57.52.jpg)

对满足 $-2^{w-1} \leq x$，$y \leq 2^{w-1}-1$ 的整数 $x$ 和 $y$，有：

$$ x +_w^t y = \begin{cases} x + y - 2^w, & 2^{w-1} \leq x + y \quad \text{正溢出} \\ x + y, & -2^{w-1} \leq x + y < 2^{w-1} \quad \text{正常} \\ x + y + 2^w, & x + y < -2^{w-1} \quad \text{负溢出} \end{cases} $$

两个数的$w$位补码之和与无符号之和有完全相同的位级表示

利用左移做乘法

大多数机器中左移比乘法快
- 编译器会自动生成这样的代码

方法的证明：

假设 $x$ 的 $w$ 位二进制表示为 $\left[x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{0}\right]$，那么 $\left[x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{0}, 0, \cdots, 0\right]$ 给出了 $x2^k$ 的 $w+k$ 位二进制表示：

$$ \begin{aligned} B2U_{w+k}\left(\left[x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{0}, 0, \cdots, 0\right]\right) &= \sum_{i=0}^{w-1} x_{i} 2^{i+k} \\ &= \left[\sum_{i=0}^{w-1} x_{i} 2^{i}\right] \cdot 2^{k} \\ &= x 2^{k} \end{aligned} $$

对于固定长度的表示，高 $k$ 位被丢弃，左移 $k$ 位的二进制表示为

$$ \left[x_{w-k-1}, x_{w-k-2}, \cdots, x_{0}, 0, \cdots, 0\right] $$

所以

$$ \begin{aligned} B2U_{w}\left(\left[x_{w-k-1}, x_{w-k-2}, \cdots, x_{0}, 0, \cdots, 0\right]\right) &= \sum_{i=0}^{w-k-1} x_{i} 2^{i+k} \\ &= \left[\sum_{i=0}^{w-k-1} x_{i} 2^{i}\right] \cdot 2^{k} \\ &= \left[\sum_{i=0}^{w-1} x_{i} 2^{i}\right] \cdot 2^{k} \mod 2^w \\ &= x2^k \mod 2^w \end{aligned} $$

所以对于无符号整数

$$ B2U_{w}\left(\left[x_{w-k-1}, x_{w-k-2}, \cdots, x_{0}, 0, \cdots, 0\right]\right) = \text{UMult}_w(x,2^k) $$

对于有符号整数，利用

$$ \text{TMult}_w(u,v) = U2T_w((u \cdot v) \mod 2^w) $$

可以得到相同的结果。

一般情形

现在考虑一般的情形，假设我们需要计算 $u \times K$，其中 $K$ 为常数，将 $K$ 表达为一组 $0$ 和 $1$ 交替的序列

$$ [(0 \cdots 0)(1 \cdots 1)(0 \cdots 0) \cdots (1 \cdots 1)] $$

考虑一组从位置 $n$ 到位置 $m$ 的连续 $1$，那么可以用如下方式计算这部分的对于乘积的影响：

$$ \begin{aligned} &(x << n) + (x << (n-1)) + \cdots + (x << m) \\ &(x << (n+1)) - (x << m) \end{aligned} $$

移位操作和二进制乘除法的联系

使用移位操作代替除以 2 的幂（无符号）

$u » k$ 给出 $\lfloor u / 2^{k} \rfloor$
使用逻辑移位

证明：

假设 $x$ 的 $w$ 位二进制表示为 $\left[x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{0}\right]$，右移 $k$ 位的二进制表示为 $\left[0, \cdots, 0, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{k}\right]$

$$ \begin{aligned} B2U_w(\left[0, \cdots, 0, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{k}\right]) &= \sum_{i=0}^{w-k-1} x_{i+k} 2^{i} \\ B2U_{w}\left(\left[x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{0}\right]\right) &= \sum_{i=0}^{w-1} x_{i} 2^{i} \\ &= 2^k \sum_{i=0}^{w-k-1} x_{i+k} 2^{i} + \sum_{i=0}^{k-1} x_{i} 2^{i} \\ &= 2^k B2U_w(\left[0, \cdots, 0, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_{k}\right]) + \sum_{i=0}^{k-1} x_{i} 2^{i} \end{aligned} $$

所以

$$ \lfloor x / 2^{k} \rfloor = x >> k $$

使用移位操作代替除以 2 的幂（有符号）

$u » k$ 给出 $\lfloor u / 2^{k} \rfloor$
使用算数移位

当 $u > 0$ 时上述方法和无符号情形一致，但是当 $u < 0$ 时则会产生有问题的结果，例如取 $u = -12340$：

考虑 $k=4,8$ 时的结果，在 C 语言中实际结果为 $-771$ 和 $-48$，之所以和 C 语言中的结果不同，是因为上述算法朝着离 $0$ 更远的方向舍入，所以当 $u < 0$ 时要向上舍入，达到上述效果利用如下事实即可

$$ \lceil x / y \rceil = \lfloor (x + y - 1) / y \rfloor $$

Unsigned

必须做一个明确的分配而不是暗示

容易犯错误，例如下面的代码会出现无限循环

1
2
3


unsigend i;
for(i = cnt - 2;i >= 2;i --)
 a[i] += a[i + 1];

可能会变的很诡异

1
2
3


#define DELTA sizeof(int)//默认int的size是一个unsigned的size_t
int i;
for(i = CNT;i - DELTA >= 0;i -=DELTA)//和上面的代码出现一样的问题

正确的代码如下

1
2
3


size_t i;
for (i = cnt-2; i < cnt; i--)
 a[i] += a[i+1];

什么时候用无符号整数

执行模块化算术时使用
- 多精度算术
在使用位表示集时使用
- 逻辑右移，无符号扩展

（最好不要用unsigned）

内存中数字的一些底层表示

Word Size

硬件本身并不一定定义字长大小
任何给定的计算机都具有字长
直到现在，大部份机器都采用32 bits(4 bytes)作为字长
- 地址限制为4 GB($2^{32}$bytes)
越来越多机器具有64位字长
机器仍然支持多种数据格式
- 字长的分数或整数倍
- 但总是整数比特

比特顺序

分为大端法和小端法

Example
- 变量x的value是0x01234567
- 地址是0x100

lecture02 Bits,Bytes and Integer

Wed, 24 Sep 2025 00:00:00 +0000

Bits

为什么要用比特

易于用双稳态元件存储
能在有噪声且不精确的电线上可靠传输

我们可以用二进制来表示浮点数。在一个二进制的小数中：

小数点左边的第一位权重为 2^0，向左依次为 2^1、2^2、…
小数点右边的第一位权重为 2^-1，向右依次为 2^-2、2^-3、…

因此，如果将数字写成 32 位或者 64 位的字符串会很麻烦。通常将 4 bits 为一组，用十六进制表示。这样十六进制与二进制的转换就非常方便。

字节

一个字节等于 8 比特

布尔代数

比特之间的关系（操作）
1 代表 true，0 代表 false

Example：表示与操作集合

表示方式：
- 一个长度为 $w $的位向量表示集合 ${0, 1, …, w-1}$ 的子集
- 如果 $a_j = 1，j ∈ A$
for example：{0, 3, 5, 6}
- 01101001
- 76543210

对于上面的这个例子，“01101001”代表的就是 “76543210” 中各个位的数字在集合中是否出现，出现即为 1，反之为 0。

对比逻辑运算符

&&、||、 !

Example：

!0x41 → 0x00
!0x99 → 0x01
!!ox41 → 0x01
0x69 && 0x55 → 0x01
p && *p（避免空指针访问，如果 p 是 NULL，就不会解引用）

移位操作

左移：x « y

向左移动位次，多余的bits扔掉，添加相对应数目的0

右移：x » y

逻辑右移
- 和左移类似
算数右移
- 若第一个数为1，把原本填充的0改为填充1

整数编码

无符号数

$B2U(X) = \sum_{i = 0}^{w-1} x_i \cdot 2^i $
补码(Two’s Complement)

$B2T(X) = -x_{w-1} \cdot 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i \cdot 2^i$

数值范围

W = 16

Value Type	Formula / Binary Pattern	Decimal	Hex	Binary
Unsigned Values
UMin	0	0	0x0000	00000000 00000000
UMax	2^W - 1	65535	0xFFFF	11111111 11111111
Two’s Complement Values
TMin	-2^W-1 / 100…0	-32768	0x8000	10000000 00000000
TMax	2^W-1 - 1 / 011…1	32767	0x7FFF	01111111 11111111
Other Values
-1	111…1	-1	0xFFFF	11111111 11111111
0	000…0	0	0x0000	00000000 00000000

因此我们可以得到一个关系如下：

$TMin = TMax + 1$

$UMax = 2 \times TMax + 1$

转换

有符号整型和无符号整型和十进制的转换关系如下：

显然上述转换是可逆的：

$\text{U2B}(x)=\text{B2U}^{-1}(x)$
$\text{T2B}(x)=\text{B2T}^{-1}(x)$

利用复合关系可以得到有符号整型以及无符号整型的转换关系：

对于$\text {TMin} \leqslant x \leqslant \text{TMax}$

$$ T 2 U_w(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+2^{w}, & x<0 \\ x, & x \geqslant 0 \end{array}\right. $$

对于$0 \leqslant x \leqslant \text{UMax}$

$$ U 2 T_{w}(u)=\left\{\begin{array}{ll} u, & u \leqslant \text{TMax} \\ u-2^{w}, & u>\text{TMax} \end{array}\right. $$

下图为补码到无符号数的转换关系

C语言中的转换如下：

1
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int tx, ty;
unsigned ux, uy;
//显示转换
tx = (int) ux;
uy = (unsigned) ty;

//隐式转换
tx = ux;
uy = ty

表达式求值规则

若单个表达式中同时出现无符号数与有符号数，则有符号值会被隐式转换为无符号数（包括比较运算 <、>、==、<=、>=）。

举例：W = 32 位

常量定义

TMIN = -2,147,483,648
TMAX = 2,147,483,647

常量 1	常量 2	实际类型	关系	结果	说明
`0`	`0U`	无符号	`<`	假	两者均为 0
`-1`	`0`	有符号	`<`	真	普通有符号比较
`-1`	`0U`	无符号	`>`	真	`-1` 被转成 `4294967295U`
`2147483647`	`-2147483648`	有符号	`>`	真	普通有符号比较
`2147483647U`	`-2147483648`	无符号	`<`	真	`-2147483648` 被转成 `2147483648U`
`-1`	`-2`	有符号	`>`	真	普通有符号比较
`(unsigned)-1`	`-2`	无符号	`>`	真	`-2` 被转成 `4294967294U`
`2147483647`	`2147483648U`	无符号	`<`	真	前者 < 后者
`2147483647`	`(int)2147483648U`	有符号	`>`	真	后者溢出成 `-2147483648`

小结：有符号与无符号强制转换的基本规则

位模式保持不变
强制转换时，内存中的 0/1 序列原样复制。
仅重新解释
同一段位模式，按目标类型（有符号或无符号）重新解读。
可能产生“意外”
数值可能突然加上或减去 2^W（W 为位数）。
表达式中的混合类型
只要表达式里同时出现signed int与unsigned int ，编译器会把 signed int 隐式转换成 unsigned int，再参与运算。

扩展，截断

扩展

无符号扩展至需要在前面的bits补0,有符号扩展如下

任务：
- 给定w-bit的有符号整型x
- 将其转换为w+k-bit的有符号整型，值不变
规则：

将符号位复制k份

$X’ = X_{w-1},\dots,X_{w-1},X_{w-1},X_{w-2},\dots,X_0$

补码的符号扩展

定义宽度为 $w$ 的位向量 $\vec{x} = [x_{w-1}, x_{w-2}, \dots, x_0]$ 和宽度为 $w’$ 的位向量 $\vec{x}’ = [x’{w’-1}, x’{w’-2}, \dots, x’0]$，其中 $w’ > w$。则$B2T_w(\vec{x}) = B2T{w’}(\vec{x}’)$，

补码数值的符号扩展

令$w’ = w + k$，我们想要证明的是

$$ B2T_{w+k} ([x_{w-1}, \cdots, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) = B2T_w([x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) $$

下面的证明是对$k$进行归纳。也就是说，如果我们能够证明符号扩展一位保持了数值不变，那么符号扩展任意位都能保持这种属性。因此，证明的任务就变为了：

$$ B2T_{w+1} ([x_{w-1}, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) = B2T_w([x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) $$

展开左边的表达式，得到：

$$ \begin{aligned} B2T_{w+1} ([x_{w-1}, x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) &= -x_{w-1}2^w + \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i \\ &= -x_{w-1}2^w + x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i \\ &= -x_{w-1}(2^w - 2^{w-1}) + \sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i \\ &= -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i \\ &= B2T_w([x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) \end{aligned} $$

我们使用的关键属性是$2^w - 2^{w-1} = 2^{w-1}$。因此，加上一个权值为$-2^w$的位，和将一个权值为 $-2^{w-1}$的位转换为一个权值为 $2^{w-1}$ 的位，这两项运算的综合效果就会保持原始的数值。

截断

无符号截断

原始 $w$ 位：

$$ \mathrm{B2U}_w(X)=\sum_{i=0}^{w-1} x_i\cdot2^i $$

截断为 $k$ 位后：

$$ \mathrm{B2U}_k(X)=\sum_{i=0}^{k-1} x_i\cdot2^i = \mathrm{B2U}_w(X)\bmod 2^k $$

推导

$$ \begin{aligned} B2U_w([x_{w-1}, x_{w-2}, \cdots, x_0]) \mod 2^k &= \left[ \sum_{i=0}^{w-1} x_i 2^i \right] \mod 2^k \\ &= \left[ \sum_{i=0}^{k-1} x_i 2^i \right] \mod 2^k \\ &= \sum_{i=0}^{k-1} x_i 2^i \\ &= B2U_k([x_{k-1}, x_{k-2}, \cdots, x_0]) \end{aligned} $$

有符号截断

原始 $w$ 位：

$$ \mathrm{B2T}_w(X)=-x_{w-1}\cdot2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2} x_i\cdot2^i $$

截断为 $k$ 位后：

$$ \mathrm{B2T}_k(X)=-x_{k-1}\cdot2^{k-1}+\sum_{i=0}^{k-2} x_i\cdot2^i = \mathrm{U2T}_k\!\bigl(\mathrm{B2U}_w(X)\bmod 2^k\bigr) $$